题目内容

将一块直角三角板ABO（45o角）置于直角坐标系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，点是三角板内一点，现因三角板中部分受损坏（△POB），要把损坏的部分锯掉，可用经过P的任意一直线MN将其锯成△AMN，问如何确定直线MN的斜率，才能使锯成的△AMN的面积最大？
【答案】分析：先由图求得A、B点的坐标，进而表示直线MN的方程，从而求得M、N的坐标，再求得|AN|和点M到直线AN的距离，表示出三角形的面积，再利用其函数的单调性研究．
解答：解：由图知A（1，1），B（1，0），
设直线MN的斜率为k，直线MN与△POB不能相交，所以
直线MN的方程为，
令x=1得，∴
令y=x得，∴
∴，
点M到直线AN的距离为
∴
∵∴
而函数在上是增函数，
故当∴S△AMN取得最大值．
点评：本题主要考查直线方程及直线的交点，三角形面积及最值的研究方法．
练习册系列答案
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将一块直角三角板ABO（45o角）置于直角坐标系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，点P(
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)是三角板内一点，现因三角板中部分受损坏（△POB），要把损坏的部分锯掉，可用经过P的任意一直线MN将其锯成△AMN，问如何确定直线MN的斜率，才能使锯成的△AMN的面积最大？
如图，将一块直角三角形板ABO放置于平面直角坐标系中，已知AB=BO=2，AB⊥OB．点P（1，
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）是三角板内一点，现因三角板中阴影部分（即△POB）受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角板锯成△AMN，设直线MN的斜率k．
（Ⅰ）试用k表示△AMN的面积S，并指出k的取值范围；
（Ⅱ）试求S的最大值．

将一块直角三角板ABO置于平面直角坐标系中（如图所示）.已知AB=OB=1，AB⊥OB，点P 是三角板内一点.现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角板锯成△AMN.问应如何确定直线MN的斜率，可使锯成的△AMN的面积最大？

将一块直角三角板ABO（45o角）置于直角坐标系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，点是三角板内一点，现因三角板中部分受损坏（△POB），要把损坏的部分锯掉，可用经过P的任意一直线MN将其锯成△AMN，问如何确定直线MN的斜率，才能使锯成的△AMN的面积最大？

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