Question

1．已知函数$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x-1（{x∈R}）$）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若$f（{x_0}）=\frac{6}{5}，{x_0}∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析 （1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；
（2）由（1）确定出的解析式，以及f（x₀）=$\frac{6}{5}$，求出sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）的值，进而求出cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）的值，原式中的角度变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答 解：（1）由f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1，
得f（x）=$\sqrt{3}$（2sinxcosx）+（2cos²x-1）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵ω=2，∴函数f（x）的最小正周期为π；
（2）由（1）可知f（x₀）=2sin（2x₀+$\frac{π}{6}$），
∵f（x₀）=$\frac{6}{5}$，∴sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
由x₀∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，得2x₀+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（2{x}_{0}+\frac{π}{6}）}$=-$\frac{4}{5}$，
则cos2x₀=cos[（2x₀+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$．

点评 此题考查了三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．