题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
的短轴长为2，倾斜角为
的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为M，且点M与坐标原点O连线的斜率为
.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若
，P是以AB为直径的圆上的任意一点，求证：
.
【答案】（1）
；（2）见证明
【解析】
（1）由已知得
，利用点差法和题设得到关于
，
的表达式，从而得到结果；
（2）设直线
，联立椭圆方程得到关于x的一元二次方程，根据弦长公式和判别式可求得
，再求出
，利用几何关系
即可求得结果.
（1）由已知得，
设
，
，由
，
两式相减得
，
由已知条件知：
，
，
∴
，即
，
故椭圆C的标准方程为．
（2）设，联立椭圆方程得
，
则
，
∴
，且
，
．
∵
，化简得．
又∵M是弦AB的中点，
∴
，故
，即
．
∵，
∴
．
【题目】《基础教育课程改革纲要(试行)》将“具有良好的心理素质”列入新课程的培养目标．为加强心理健康教育工作的开展，不断提高学生的心理素质，九江市某校高二年级开设了《心理健康》选修课，学分为2分．学校根据学生平时上课表现给出“合格”与“不合格”两种评价，获得“合格”评价的学生给予50分的平时分，获得“不合格”评价的学生给予30分的平时分，另外还将进行一次测验．学生将以“平时分×40%+测验分×80%”作为“最终得分”，“最终得分”不少于60分者获得学分．
该校高二(1)班选修《心理健康》课的学生的平时分及测验分结果如下：
测验分 | [30，40) | [40，50) | [50，60) | [60，70) | [70，80) | [80，90) | [90，100] |
平时分50分人数 | 0 | 1 | 1 | 3 | 4 | 4 | 2 |
平时分30分人数 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
（1）根据表中数据完成如下2×2列联表，并分析是否有95%的把握认为这些学生“测验分是否达到60分”与“平时分”有关联？
选修人数 | 测验分 达到60分 | 测验分 未达到60分 | 合计 |
平时分50分 | |||
平时分30分 | |||
合计 |
（2）用样本估计总体，若从所有选修《心理健康》课的学生中随机抽取5人，设获得学分人数为
，求的期望．
附：
，其中
| 0．1 | 0．05 | 0．025 | 0．01 | 0．005 | 0．001 |
| 2．706 | 3．841 | 5．024 | 6．635 | 7．879/p> | 10．828 |
