Question

对于函数图象上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果在函数图象上存在点M（x₀，y₀）（其中x₀∈（x₁，x₂））使得点m处的切线l∥AB，则称AB存在“伴侣切线”．特别地，当X₀=

x1+x2

2

时，又称AB存在“中值伴侣切线”．
（1）函数f（x）=x²图象上两点A（1，1），B（3，9），求AB的“中值伴侣切线”；
（2）若函数f（x）=lnx，试问：在函数f（x）上是否存在两点A、B使得它存在“中值伴侣切线”，若存在，求出A、B的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）取M（2，4），欲求求AB的“中值伴侣切线”，先求导数值f′2）=2×2=4得AB的“中值伴侣切线”的斜率，从而求出求AB的“中值伴侣切线”；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再利用中值伴侣切线的意义结合导数工具，求出g（t）在（1，+∞）上单调递增，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）M（2，4），f′2）=2×2=4
y=4x-4…（3分）
检验：kAB=

9-1

3-1

=4满足…（4分）
（2）在函数f（x）上不存在两点A、B使得它存在“中值伴侣切线”．
假设存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
不妨设0＜x₁＜x₂，则kAB=

y2-y1

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

…（6分）
在函数图象x₀=

x1+x2

2

处的切线斜率k=f′（x₀）=f′（

x1+x2

2

）=

2

x1+x2

，
化简得：

lnx 2-lnx1

x2-x1

=

2

x1+x2

，ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x1+x2

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

…（8分）
令

x2

x1

=t，则t＞1，上式化为：lnt=

2(t-1)

t+1

，
即lnt+

4

t+1

=2
若令g（t）=lnt+

4

t+1

，g′（x）=

(t-1) 2

t(t+1) 2

，
由t＞1，g′（t）＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，
g（t）＞g（1）=2这表明在（1，+∞）内不存在t，使得lnt+

4

t+1

=2
综上所述，在函数f（x）上不存在两点A、B使得它存在“中值伴侣切线”． …（12分）

点评：考查利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求函数极值的能力，以及直线斜率的计算公式，属于中档题．