Question

在数列{a_n}中，a₁=2，且an+an+1=2(n+1)2，n∈N*．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（1）由题意可得an+1=2(n+1)2-an，又a₁=2，可求得a₂，再由a₂的值求 a₃，再由a₃ 的值求出a₄的值．
（2）猜想an=n(n+1)， n∈N*，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答：解：（1）a₂=6，a₃=12，a₄=20；…（6分）
（2）猜想an=n(n+1)， n∈N*；
用数学归纳法证明：
1）当n=1时，a₁=1×（1+1）=2，命题成立
2）假设当n=k（k≥1）时命题成立．即a_k=k（k+1）
那么当n=k+1时，

ak+1=2(k+1)2-ak =2(k+1)2-k(k+1) =(k+1)(2k+2-k) =(k+1)(k+2) =(k+1)[(k+1)+1]

所以，当n=k+1时命题也成立
由1），2）可得对于任意的正整数n，an=n(n+1)， n∈N*．…（12分）

点评：本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．