Question

已知函数R,

（1）求函数的单调区间；

（2）若关于的方程为自然对数的底数)只有一个实数根，求的值。

Answer 1

已知函数R,

（1）求函数的单调区间；

（2）若关于的方程为自然对数的底数)只有一个实数根，求的值。

解: 函数的定义域为.

　 ∴.

① 当, 即时, 得,则. ∴在上单调递增.

 ② 当, 即时, 令  得,

解得.  

(ⅰ) 若, 则.

∵, ∴,   ∴函数在上单调递增.分

 (ⅱ)若,则时, ; 时, ,∴函数在上单调递减, 在上单调递增.  ,   综上所述, 当时, 函数的单调递增区间为;

当时, 的递减区间为, 递增区间为.

(2) 解: 令, 则.令, 得. ks5u

当时, ; 当时, .ks5u

∴函数在区间上单调递增, 在区间上单调递减.

∴当时, 函数取得最大值, 其值为.

而函数,

当时, 函数取得最小值, 其值为.

∴ 当, 即时, 方程只有一个根.