Question

已知函数 (R)．

(1)  当时，求函数的极值；

（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．

Answer 1

（1）当时, 取得极大值为;

当时, 取得极小值为.

（2）a的取值范围是

解析:

（1）当时，，

∴. 

       令=0, 得 . 

当时,, 则在上单调递增;

当时,, 则在上单调递减;

当时,, 在上单调递增. 

∴ 当时, 取得极大值为;

当时, 取得极小值为.

（2） ∵ = ，

∴△= =  .

① 若a≥1，则△≤0， 

∴≥0在R上恒成立，

∴ f（x）在R上单调递增 . 

∵f（0），, 

∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点． 

② 若a＜1，则△＞0，

∴= 0有两个不相等的实数根，不妨设为x₁，x₂，（x₁<x₂）．

∴x₁+x₂ = 2，x₁x₂ = a．  

当变化时，的取值情况如下表：                       

x		x1	（x1，x2）	x2
	+	0	－	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∵,∴.

∴

       

       

        .

同理.

∴

.

          令f（x₁）·f（x₂）＞0,  解得a＞． 

          而当时,,

          故当时, 函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点.     

综上所述，a的取值范围是．