Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，D是边BC的中点，求：
（1）$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{BD}$方向上的投影；
（2）$\overrightarrow{BD}$在$\overrightarrow{AB}$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）根据条件可知，△ABC为等腰直角三角形，$∠ABC=45°，BD=2\sqrt{2}$，从而可得到$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{BD}$方向的投影为4cos135°；
（2）同样可以得出$\overrightarrow{BD}$在$\overrightarrow{AB}$方向上的投影为$2\sqrt{2}cos135°$．

解答 解：（1）根据条件，∠ABC=45°；
∴$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{BD}$方向上的投影为：$|\overrightarrow{AB}|cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BD}＞=4•cos135°=-2\sqrt{2}$；
（2）根据条件，$BD=\frac{1}{2}•\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{2}$；
∴$|\overrightarrow{BD}|cos＜\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{AB}＞=2\sqrt{2}cos135°$=-2．

点评 考查一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，及投影的计算公式，清楚向量夹角的定义．