题目内容

已知 $数学公式$ =（cos23°，cos67°）， $数学公式$ =（2cos68°，2cos22°），则△ABC的面积为________．

$\text{[math]}$
分析：根据题意，利用 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的坐标，可得 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的模，由数量积公式，可得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的值，进而由cos∠B= $\text{[math]}$ ，可得cos∠B，由余弦函数的性质，可得∠B，最后由三角形面积公式，计算可得答案．
解答：根据题意， $\text{[math]}$ =（cos23°，cos67°），则 $\text{[math]}$ =-（cos23°，sin23°），有| $\text{[math]}$ |=1，
$\text{[math]}$ =（2cos68°，2cos22°）=2（cos68°，sin68°），则| $\text{[math]}$ |=2，
则 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =-2（cos23°cos68°-sin23°sin68°）=-2×cos45°=- $\text{[math]}$ ，
cos∠B= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
则∠B=135°，
则S_△ABC= $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |sin∠B= $\text{[math]}$ ×1×2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数量积的坐标运算，关键是由余弦函数的和角公式求出 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，注意角B是向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的夹角．