Question

已知集合A＝{x|x²＋4x＝0}，集合B＝{x|x²＋2(a＋1)x＋a²－1＝0}，其中x∈R．

(1)若A∩B＝B，求实数a的取值范围；

(2)若A∪B＝B，求实数a的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)易知A＝{0，－4}，又A∩B＝B，即AB， 　　∴B＝或{0}或{－4}或{0，－4}． 　　①当B＝时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无实数解， 　　∴Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1． 　　②当B＝{0}或{－4}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等实数根， 　　∴Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，得a＝－1，此时B＝{0}，满足题意． 　　③当B＝{－4，0}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个不相等实数根－4，0，则－2(a＋1)＝－4＋0且a2－1＝0，解得a＝1，此时B＝{x|x2＋4x＝0}＝{－4，0}，满足题意． 　　综上，可知a≤－1或a＝1． 　　(2)由已知得A＝{0，－4}．又A∪B＝B，即AB．又∵B为二次方程的解集，其中最多有2个元素，∴B＝{0，－4}，即方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两根为0和－4．由(1)知a＝1．

提示：

本题体现了分类讨论思想，要注意空集这一特殊集合．