Question

20．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁，点D，E分别为BC，CC₁的中点．
（1）求证：平面ABE⊥平面AB₁D；
（2）点P是线段B₁D上一点，若A₁P∥平面ADE，求$\frac{{B}_{1}P}{PD}$的值．

Answer 1

分析 （1）由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，可得AB⊥BB₁，再由AB⊥BC，得AB⊥平面BCC₁B₁，可得AB⊥DB₁，求解三角形可得B₁D⊥BE，再由线面垂直的判定可得B₁D⊥平面ABE，从而得到平面ABE⊥平面AB₁D；
（2）连接PC交DE于点F，连接A₁C交AE于点G，连接FG，可得A₁P∥FG，由平行线截线段成比例可得$\frac{{B}_{1}P}{PD}=\frac{1}{2}$．

解答 （1）证明：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥底面ABC，AB?底面ABC，∴AB⊥BB₁，
∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC，又BC∩BB₁=B，
∴AB⊥平面BCC₁B₁，
∵DB₁?平面BCC₁B₁，∴AB⊥DB₁，
∵在平面BCC₁B₁中，BC=BB₁，
∴四边形BCC₁B₁为正方形，
∵D，E分别为BC，CC₁的中点，
∴△BCE∽△B₁BD，则∠CBE=∠BB₁D，
∴∠CBE+∠B₁DB=90°，即B₁D⊥BE，
∵BA∩BE=B，∴B₁D⊥平面ABE，
又DB₁?平面AB₁D，∴平面ABE⊥平面AB₁D；
（2）连接PC交DE于点F，连接A₁C交AE于点G，连接FG，
∵A₁P∥平面ADE，平面A₁PC∩平面ADE=FG，∴A₁P∥FG，
∴$\frac{CF}{FP}$=$\frac{CG}{G{A}_{1}}$=$\frac{CE}{A{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴在正方形BCC₁B₁中利用平几知识可得$\frac{{B}_{1}P}{PD}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，考查空间中点、线、面间的距离计算，是中档题．