题目内容
17．在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积．若三角形的三边长为a，b，c，其面积S=$\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$，这里p=$\frac{1}{2}$（a+b+c），已知在△ABC中，BC=6，AB=2AC，其面积取最大值时sinA=$\frac{3}{5}$．分析 设b=x，则c=2x，根据海伦面积公式得S△ABC的解析式，由三角形三边关系求得2＜x＜6，由二次函数的性质求得S△ABC取得最大值，从而求出sinA的值即可．
解答 解：∵a=6，设b=x，则c=2x，可得：p=$\frac{1}{2}$（a+b+c）=3+$\frac{3x}{2}$，
∴S=$\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$=$\sqrt{（3+\frac{3}{2}x）（\frac{3}{2}x-3）（3+\frac{1}{2}x）（3-\frac{1}{2}x）}$=$\sqrt{144-{\frac{9}{16}{（x}^{2}-20）}^{2}}$
由三角形三边关系有：x+2x＞6且x+6＞2x，解得：2＜x＜6，
故当 x=2$\sqrt{5}$时，S△ABC取得最大值12．
由$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×4$\sqrt{5}$sinA=12，解得：sinA=$\frac{3}{5}$，
故答案为：$\frac{3}{5}$．
点评 本题主要考查了二次函数的性质和海伦面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，考查了转化思想，属于中档题．
练习册系列答案
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5．在半径等于13cm的球内有一个截面，它的面积是25πcm2，则球心到截面的距离为（ ）
| A． | 12cm | B． | 10cm | C． | 8cm | D． | 6cm |
12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+a，x＜0}\\{-\frac{1}{x}，x＞0}\end{array}\right.$若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，则实数a的取值范围是（ ）
| A． | （2，+∞） | B． | （-∞，$\frac{1}{4}$） | C． | （-2，$\frac{1}{4}$） | D． | （-∞，-2）∪（$\frac{1}{4}$，+∞） |
9．设随机变量X的分布列为$P（X=i）=a•{（{\frac{2}{3}}）^i}i=1，2，3$，则a的值为（ ）
| A． | $\frac{17}{38}$ | B． | $\frac{27}{38}$ | C． | $\frac{17}{19}$ | D． | $\frac{27}{19}$ |
6．某中学为了解2017届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为$\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）请将上述列联表补充完整；
（Ⅱ）判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？
附：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$
| 喜欢游泳 | 不喜欢游泳 | 合计 | |
| 男生 | 10 | ||
| 女生 | 20 | ||
| 合计 |
（Ⅰ）请将上述列联表补充完整；
（Ⅱ）判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？
附：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$
| p（K2≥k0） | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |