Question

（1）当m＞n＞3（m，n∈Z）时，证明：（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m．
（2）已知函数f（x）=alnx-（x-1）²-ax（常数a＞0），如果对于f（x）的图象上两点P₁（x₁，f（x₁）），P₂（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂），存在x₀∈（x₁，x₂），使得f（x）的图象在x=x₀处的切线m∥P₁P₂，求证：x0＜

x1+x2

2

．

Answer 1

分析：（1）将不等式两边取自然对数，变形可得原不等式等价于nlnn+mnlnm＞mlnm+mnlnn．注意到n-m是正数，采用放缩：先证明nlnn+mnlnm＞mlnm+mnlnn+（n-m），等价变形为

m(1+lnm)

m-1

＞

n(1+lnn)

n-1

．因此考察函数F（x）=

x(1+lnx)

x-1

，利用导数研究F（x）的单调性得到F（x）在（3，+∞）上是增函数，从而得到F（m）＞F（n），即

m(1+lnm)

m-1

＞

n(1+lnn)

n-1

成立，即可得到当m＞n＞3（m，n∈Z）时，不等式（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m成立．
（2）由f（x）的图象在x=x₀处的切线m∥P₁P₂，列出等式化简得f'（x₀）=

aln x2 x1

x2-x1

-（x₁+x₂-2）-a．求出f'（x）的表达式得f'（

x1+x2

2

）=

2a

x1+x2

-（x₁+x₂-2）-a．根据f'（x）在区间（0，+∞）上是减函数，得到不等式x0＜

x1+x2

2

等价于f'（x₀）＞f'（

x1+x2

2

），化简得到ln

x2

x1

＞

2(x2-x1)

x1+x2

．令g（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，其中t=

x2

x1

＞1，证出g（t）在（1，+∞）上是增函数，得到g（t）＞0，因此lnt＞

2(t-1)

t+1

，可得

lnt

t-1

＞

2

t+1

，再将t还原为

x2

x1

即可证出f'（x₀）＞f'（

x1+x2

2

），从而得到x0＜

x1+x2

2

，原不等式成立．

解答：解：（1）不等式（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m，等价于ln[（nm^m）ⁿ]＞ln[（mnⁿ）^m]
即nln（nm^m）＞mln（mnⁿ），等价于nlnn+mnlnm＞mlnm+mnlnn，…（*）
考虑到n＞m得n-m＞0，为了证明上式成立，先证明nlnn+mnlnm＞mlnm+mnlnn+（n-m），
整理得0＜n（m-1）（1+lnn）＜m（n-1）（1+lnm），等价于

m(1+lnm)

m-1

＞

n(1+lnn)

n-1

，
考察函数F（x）=

x(1+lnx)

x-1

，得F'（x）=

(2+lnx)(x-1)-x(1+lnx)

(x-1)2

=

x-2-lnx

(x-1)2

，
∵t=x-2-lnx的导数t'=1-

1

x

＞0在（3，+∞）上成立，
∴F'（x）≥F'（4）＞0，可得F（x）=

x(1+lnx)

x-1

在（3，+∞）上是增函数，
从而得到F（m）＞F（n），可得

m(1+lnm)

m-1

＞

n(1+lnn)

n-1

成立，因此得到（*）式成立．
综上所述，可得当m＞n＞3（m，n∈Z）时，不等式（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m成立．
（2）根据题意，得f'（x₀）= kP1P2=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

aln x2 x1

x2-x1

-（x₁+x₂-2）-a，
∵f'（x）=

a

x

-2（x-1）-a，
∴f'（

x1+x2

2

）=

2a

x1+x2

-（x₁+x₂-2）-a，且f'（x）在区间（0，+∞）上是减函数
要证x0＜

x1+x2

2

，只需证明f'（x₀）＞f'（

x1+x2

2

），
即证

aln x2 x1

x2-x1

＞

2a

x1+x2

，即ln

x2

x1

＞

2(x2-x1)

x1+x2

．
令t=

x2

x1

＞1，g（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，得g'（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0
∴g（t）在（1，+∞）上是增函数，可得g（t）＞g（1）=0，
由此可得lnt＞

2(t-1)

t+1

，即

lnt

t-1

＞

2

t+1

，将t还原为

x2

x1

得ln

x2

x1

＞

2(x2-x1)

x1+x2

．
因此，f'（x₀）＞f'（

x1+x2

2

），可得x0＜

x1+x2

2

，原不等式成立．

点评：本题着重考查了利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的等价变形、用分析法证明不等式和导数的几何意义等知识，考查转化化归和数形结合的数学思想、逻辑推理能力、计算能力和分析问题解决问题的综合能力，属于中档题．