Question

已知，求证：
（1）当m＜n（m∈N^*）时，；
（2）当n＞1时，；
（3）对于任意给定的正数M，总能找到一个正整数N₀，使得当n＞N₀时，有f（n）＞M．

Answer 1

证明：（1）当m＜n时，
f（n）-f（m）=≥=．
（2）当n＞1时，
；
（3）∵，
∴f（n）在N^*上单调递增．
由（2）可知，当n＞1时，．对任意给定的正数M，设M₀是比M大的最小正整数，
取，则当n＞N₀时，．
分析：（1）当m＜n时，考察f（n）与（m）的差f（n）-f（m），结合放缩法即可证得；
（2）当n＞1时，利用放缩法结合等比数列的求和公式即得结论；
（3）由于，得出f（n）在N^*上单调递增．由（2）可知，当n＞1时，．对任意给定的正数M，设M₀是比M大的最小正整数，取，则当n＞N₀时，有f（n）＞M．
点评：本小题主要考查综合法与分析法、不等式的证法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．