Question

【题目】如图，在中，X、Y为直线BC上两点（X、B、C、Y顺次排列），使得.设的外心分别为，直线与AB、AC分别交于点U、V.证明：为等腰三角形.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

证法1 如图所示，作的平分线，与BC交于点P.设的外接圆分别为.

由内角平分线的性质知.

由条件得.

故

.

则点P对的幂相等.从而，点P在圆的根轴上.

于是，.这表明，点U、V关于直线AP对称.

因此，为等腰三角形.

证法2 如图所示，设的外心为O，联结.过点分别作直线BC的垂线，垂足分别为.作于点K.

下面证明：.

在中，

.

由外心的性质，知.

又，故.

而分别为BC、CX的中点，则

，

其中，R为的外接圆半径.

类似地，.

由已知条件得

.

由.

类似地，.

又因为，所以，

，

.

因此，为等腰三角形.