Question

如下图，在棱长为a的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，O是AC、BD的交点，E、F分别是AB与AD的中点．

(1)求异面直线OD₁与A₁C₁所成角的大小；

(2)求异面直线EF与A₁C₁所成角的大小；

(3)求异面直线EF与OD₁所成角的正切值；

(4)求异面直线EF与OD₁的距离．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)∵∥AC，∴与AC所成的锐角或直角就是与所成的角，连结、，在△和△，∵＝，，，∴△≌△，∴．∴△是等腰三角形．∵O是底边AC的中点，∴，故与所成的角是90°． 　　(2)∵E、F分别是AB、AD中点，∴EF∥BD，又∵∥AC，∴AC与BD所成的锐角或直角就是EF与所成的角．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴EF与所成的角为90° 　　(3)∵EF∥BD，∴为异面直线EF与所成的角．∵四边形是正方形，∴，∴在Rt△中，，＝＝，∴，即EF与所成角的正切值为． 　　(4)∵EF∥BD，BD⊥AC，∴EF⊥AC，设交点为G．∵⊥AC(由(1)知)于O，则AC是异面直线EF与的公垂线，OG的长即为EF与间的距离，由于G是OA中点，O是AC中点，且，∴，即EF与间的距离为．