Question

20．已知F₁，F₂分别为双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F₁的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF₂|：|AF₂|=4：3：5，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{13}$
• B． $\sqrt{15}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 设|AF₁|=t，|AB|=4x，根据双曲线的定义算出t=2x，x=$\frac{2}{3}$a，Rt△ABF₂中算出cos∠BAF₂=$\frac{|AB|}{|A{F}_{2}|}$=$\frac{4}{5}$，可得cos∠F₂AF₁=-$\frac{4}{5}$，在△F₂AF₁中，利用余弦定理与双曲线的离心率公式加以计算，可得答案．

解答 解：设|AF₁|=t，|AB|=4x，则|BF₂|=3x，|AF₂|=5x，
根据双曲线的定义，得|AF₂|-|AF₁|=|BF₁|-|BF₂|=2a，
即5x-t=（4x+t）-3x=2a，解得t=2x，x=$\frac{2}{3}$a，
即|AF₁|=$\frac{4a}{3}$，|AF₂|=$\frac{10a}{3}$，
∵|AB|：|BF₂|：|AF₂|=4：3：5，得△ABF₂是以B为直角的Rt△，
∴cos∠BAF₂=$\frac{|AB|}{|A{F}_{2}|}$=$\frac{4}{5}$，
可得cos∠F₂AF₁=-$\frac{4}{5}$，
△F₂AF₁中，|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|•|AF₂|cos∠F₂AF₁
=$\frac{16}{9}$a²+$\frac{100}{9}$a²-2×$\frac{4}{3}$a×$\frac{10}{3}$a×（-$\frac{4}{5}$）=20a²，
可得|F₁F₂|=2$\sqrt{5}$a，即c=$\sqrt{5}$a，
因此，该双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选：D．

点评 本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、直角三角形的判定与性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．