Question

已知点P与定点F（1，0）的距离和它到定直线的距离之比是1：2，

（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点F的直线交曲线C与A，B两点，A，B在上的射影分别为M，N。求证：AN与BM的公共点在轴上。

Answer 1

（I）解:设P点的坐标为(),由题设得:,

    化简得：即

    点P的轨迹C的方程是

（II）证明：当直线AB与轴重合时，A，B两点分别是椭圆长轴的两个端点，则它们的射影都在直线与轴的交点处，则AN与BM的公共点就为椭圆的右顶点到直线与轴的交点的线段，此时满足题意

 设AB的方程为，代入，

得

∴

设AN与轴相交于点（），则，解得

 

∴

∴，即AN交轴于（）

同理BM交轴于（）。

∴AN与BM的公共点在轴上。