Question

（2013•浙江二模）已知点M到定点F（1，0）的距离和它到定直线l：x=4的距离的比是常数

1

2

，设点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）已知曲线C与x轴的两交点为A、B，P是曲线C上异于A，B的动点，直线AP与曲线C在点B处的切线交于点D，当点P运动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设点M（x，y），利用条件可得等式，化简，可得曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）设出直线方程，代入椭圆方程，确定P的坐标，求出PF的方程，验证圆心到直线的距离，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）设点M（x，y），则据题意有

(x-1)2+y2

|x-4|

=

1

2

则4[（x-1）²+y²]=（x-4）²，
即3x²+4y²=12，∴

x2

4

+

y2

3

=1
故曲线C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，…（5分）
（Ⅱ）如图由曲线C方程知A（-2，0），B（2，0），在点B处的切线方程为x=2．
以BD为直径的圆与直线PF相切．
证明如下：由题意可设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0）．
则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）．
直线方程代入椭圆方程，可得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0．
设点P的坐标为（x₀，y₀），则-2x₀=

16k2-12

3+4k2

．
所以x₀=

6-8k2

3+4k2

，y₀=

12k

3+4k2

．    …（7分）
因为点F坐标为（1，0），
当k=±

1

2

时，点P的坐标为（1，±

3

2

），点D的坐标为（2，±2）．
直线PF⊥x轴，此时以BD为直径的圆与直线PF相切．
当k≠±

1

2

时，则直线PF的斜率kPF=

y0

x0-1

=

4k

1-4k2

．
所以直线PF的方程为y=

4k

1-4k2

(x-1)．
点E到直线PF的距离d=

| 8k 1-4k2 -2k- 4k 1-4k2 |

16k2 (1-4k2)2 +1

=2|k|．
又因为|BD|=2R=4|k|，故以BD为直径的圆与直线PF相切．
综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．…（15分）

点评：本题考查椭圆方程，考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．