Question

已知点P与定点F的距离和它到定直线l: 的距离之比是1 : 2.

(1)求点P的轨迹C方程;

(2)过点F的直线交曲线C于A, B两点, A, B在l上的射影分别为M, N.

求证AN与BM的公共点在x轴上.

Answer 1

（1）（2）见解析

解析:

(1) 如图(1) 设P点的坐标为,

则由题设得:,

化简得: ,

   即即.

   ∴点P的轨迹C的方程是.

(2) ①当AB轴时, A、B的坐标分别为, ,

AN与BM的交点为在x轴上.

②当AB不垂直于x轴时,设直线AB的方程为,

代入椭圆,得

设, , 则, ,

且 ∵直线AN方程是,

 直线BM方程是.

联列, 得, 消去y, 得: .

即 即,

把代入直线AN的方程

得

 ∴AN与BM交于点是x轴上一定点.

(2) 解法二: 如图(2) 当AB不垂直于x轴时,

设AF＝n, 则AM＝2n, 设BF＝m, 则BN＝2m,

在△ABN和△BAM中, FH∥AM, FH₁∥BN,

∴△ABN∽△AFH和△BAM∽△BFH₁

∴

同理可推, ∴

,

∴,∴H与H₁重合，∴AN与BM交点是x轴上一定点.