Question

（本小题满分12分）椭圆C：的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为、、，且、、恰好构成等比数列，记△的面积为S.

（Ⅰ）求椭圆C的方程.

（Ⅱ）试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？

（Ⅲ）求S的范围.

Answer 1

（1），（2）5，（3）

【解析】

试题分析：首先借助椭圆的标准方程借助待定系数法求出得出椭圆方程，第二步设直线的方程，设而不求联立方程组，消去得出关于的一元二次方程，根据根与系数关系，得出，根据直线OA、l、OB的斜率分别为、、，且、、恰好构成等比数列，有，借助，找出关系，进而求出，代入，得出的范围，最后表示，把代入后得出定值；第三步先求弦长，再求原点到直线的距离，表示出三角形的面积，再利用，得出面积的取值范围.

试题解析：（1）由题意可知且，

所以椭圆的方程为

（2）设直线的方程为，由

恰好构成等比数列.

=即 ，此时且 ，得，

（否则：，则中至少有一个为，直线中至少有一个斜率不存在，矛盾！）；

，=

所以是定值为．

（3）=

（），则：

考点：1.求椭圆方程；2.设而不求解题思想；3.减元思想；4.定点定值问题的解题方法；5.取值范围问题；