Question

【题目】已知函数，令.

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；

（3）若，正实数满足，证明： .

Answer 1

【答案】（1）（2）最小值为.（3）见解析

【解析】试题分析：（1）求出导函数并由导函数大于零求出不等式的解，从而得到函数的单调递增区间；（2）又不等式求参数范围，常常把不等式化为一边是零的形式即等价于，接下来对参数m讨论求函数的最大值，从而求出m的最小值．（3）构造创设出关于的不等式，从而得证．

试题解析：（1）

由得又所以．所以的单增区间为．

（2）令

所以．

当时，因为，所以所以在上是递增函数，

又因为

所以关于的不等式不能恒成立．

当时， ．

令得，所以当时， 当时， ．

因此函数在是增函数，在是减函数．

故函数的最大值为

令因为

又因为在上是减函数，所以当时， ．

所以整数的最小值为2．

（3）当时，

由即

从而

令则由得，

可知在区间（0，1）上单调递减，在区间上单调递增．所以

所以即成立．