题目内容
一个三棱柱ABC-A1B1C1的直观图和三视图如图所示（主视图、俯视图都是矩形，左视图是直角三角形），设E为线段AA1上的点．
（1）求几何体E-B1C1CB的体积；
（2）是否存在点E，使平面EBC⊥平面EB1C1，若存在，求AE的长．
解：（1）由题意可知，三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，B1B⊥底面ABC，
底面三角形是直角三角形，AB⊥BC，AB=1，BC=
，BB1=2，
三棱柱ABC-A1B1C1D的体积为：V=S△ABC•BB1=
=．
（2）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，B1B⊥底面ABC，
∴BE2=AB2+AE2=2，
∴B1E2=A1B12+A1E2=2，
又BB1=2，
∴BE2+B1E2=BB12，
∴BE⊥B1E，
又
?B1C1⊥平面AA1B1B，∴B1C1⊥BE，
由BE⊥B1E，B1C1⊥BE，B1E∩B1C1=B1，得BE⊥平面EB1C1，
又BE?平面EBC，∴平面EBC⊥平面EB1C1． …（12分）
∴AE=
=
=1．
分析：（1）说明三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，B1B⊥底面ABC，推出底面三角形是直角三角形，然后求出三棱柱ABC-A1B1C1D的体积．
（2）利用BE2=AB2+AE2=2，推出BE⊥B1E，通过，证明B1C1⊥平面AA1B1B，得到B1C1⊥BE，即可证明平面EBC⊥平面EB1C1．求出AE的长．
点评：本小题主要考查空间线面关系，考查直线与平面，平面与平面垂直，几何体的体积，考查空间想像能力和推理论证能力，考查计算能力．
底面三角形是直角三角形，AB⊥BC，AB=1，BC=
，BB1=2，三棱柱ABC-A1B1C1D的体积为：V=S△ABC•BB1=
=．（2）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，B1B⊥底面ABC，
∴BE2=AB2+AE2=2，
∴B1E2=A1B12+A1E2=2，
又BB1=2，
∴BE2+B1E2=BB12，
∴BE⊥B1E，
又
?B1C1⊥平面AA1B1B，∴B1C1⊥BE，
由BE⊥B1E，B1C1⊥BE，B1E∩B1C1=B1，得BE⊥平面EB1C1，
又BE?平面EBC，∴平面EBC⊥平面EB1C1． …（12分）
∴AE=
==1．分析：（1）说明三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，B1B⊥底面ABC，推出底面三角形是直角三角形，然后求出三棱柱ABC-A1B1C1D的体积．
（2）利用BE2=AB2+AE2=2，推出BE⊥B1E，通过
，证明B1C1⊥平面AA1B1B，得到B1C1⊥BE，即可证明平面EBC⊥平面EB1C1．求出AE的长．点评：本小题主要考查空间线面关系，考查直线与平面，平面与平面垂直，几何体的体积，考查空间想像能力和推理论证能力，考查计算能力．
练习册系列答案
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A、
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B、
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C、
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D、
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