Question

已知点F为抛物线C：y²=4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点，若点P的纵坐标为m（m≠0），点D为准线l与x轴的交点．
（Ⅰ）求直线PF的方程；
（Ⅱ）求△DAB的面积S范围；
（Ⅲ）设

AF

=λ

FB

，

AP

=μ

PB

，求证λ+μ为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题知点P，F的坐标分别为（-1，m），（1，0），求出斜率用点斜式写出直线方程．
（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），用弦长公式求出线段AB的长，再由点到直线的距离公式求点D到直线AB的距离，用三角形面积公式表示出面积关于参数m的表达式，再根据m的取值范围求出面积的范围．
（Ⅲ）

AF

=λ

FB

，

AP

=μ

PB

，变化为坐标表示式，从中求出参数λ，μ用两点A，B的坐标表示的表达式，即可证明出两者之和为定值．

解答：解：（Ⅰ）由题知点P，F的坐标分别为（-1，m），（1，0），
于是直线PF的斜率为-

m

2

，
所以直线PF的方程为y=-

m

2

(x-1)，即为mx+2y-m=0．（3分）

（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由

y2=4x y=- m 2 (x-1)

得m²x²-（2m²+16）x+m²=0，
所以x1+x2=

2m2+16

m2

，x₁x₂=1．
于是|AB|=x1+x2+2=

4m2+16

m2

．
点D到直线mx+2y-m=0的距离d=

2|m|

m2+4

，
所以S=

1

2

|AB|d=

1

2

4(m2+4)

m2

2|m|

m2+4

=4

1+ 4 m2

．
因为m∈R且m≠0，于是S＞4，
所以△DAB的面积S范围是（4，+∞）．（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）及

AF

=λ

FB

，

AP

=μ

PB

，得（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），（-1-x₁，m-y₁）=μ（x₂+1，y₂-m），
于是λ=

1-x1

x2-1

，μ=

-1-x1

x2+1

（x₂≠±1）．
所以λ+μ=

1-x1

x2-1

+

-1-x1

x2+1

=

2-2x1x2

(x2-1)(x2+1)

=0．
所以λ+μ为定值0．（14分）

点评：考查求直线方程、抛物线在的焦点弦弦长公式、点到直线的距离公式及向量中数乘向量的意义，涉及知识较多，综合性较强．