Question

已知点F为抛物线C：y²=4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点，若点P的纵坐标为m（m≠0），点D为准线l与x轴的交点．
（Ⅰ）求直线PF的方程；
（Ⅱ）求△DAB的面积S范围；
（Ⅲ）设，，求证λ+μ为定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题知点P，F的坐标分别为（-1，m），（1，0），求出斜率用点斜式写出直线方程．
（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），用弦长公式求出线段AB的长，再由点到直线的距离公式求点D到直线AB的距离，用三角形面积公式表示出面积关于参数m的表达式，再根据m的取值范围求出面积的范围．
（Ⅲ），，变化为坐标表示式，从中求出参数λ，μ用两点A，B的坐标表示的表达式，即可证明出两者之和为定值．
解答：解：（Ⅰ）由题知点P，F的坐标分别为（-1，m），（1，0），
于是直线PF的斜率为，
所以直线PF的方程为，即为mx+2y-m=0．（3分）

（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由得m²x²-（2m²+16）x+m²=0，
所以，x₁x₂=1．
于是．
点D到直线mx+2y-m=0的距离，
所以．
因为m∈R且m≠0，于是S＞4，
所以△DAB的面积S范围是（4，+∞）．（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），（-1-x₁，m-y₁）=μ（x₂+1，y₂-m），
于是，（x₂≠±1）．
所以．
所以λ+μ为定值0．（14分）
点评：考查求直线方程、抛物线在的焦点弦弦长公式、点到直线的距离公式及向量中数乘向量的意义，涉及知识较多，综合性较强．