Question

 

    已知椭圆抛物线有公共焦点，的中心和的顶点都在坐标原点，过点的直线与抛物线分别相交于两点。

(I)写出抛物线的标准方程；

(II)若，求直线的方程；

(III)若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值。

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ）由题意，抛物线的方程为：，                                …………2分

（Ⅱ）设直线的方程为：.

联立，消去，得 ， 

                                         ………………3分

显然，设，

则                   ①

                         ②                               …………………4分

又，所以      ③                            …………………5分

由①② ③消去，得    ，               

故直线的方程为或 .                      …………………6分

（Ⅲ）设，则中点为， 因为两点关于直线对称，

所以，即，解之得，                …………………8分

将其代入抛物线方程，得：

，所以，.                                    ………………………9分

联立 ，消去，得：

.                            ………………………10分

由，得

，即，                    …………………12分

将，代入上式并化简，得

，所以，即，   

因此，椭圆长轴长的最小值为.                              ………………………13分