题目内容

已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1的左、右两个焦点为F1、F2，离心率为
1
2
，又抛物线C2：y2=4mx（m＞0）与椭圆C1有公共焦点F2（1，0）．
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）设直线l经过椭圆的左焦点F1且与抛物线交于不同两点P、Q，且满足
F1P
=λ
F1Q
，求实数λ的取值范围．
分析：（1）根据椭圆的性质，确定几何量，从而可求椭圆的方程，利用抛物线的焦点坐标，可得抛物线方程；
（2）直线l的方程和抛物线方程联立，利用直线和抛物线有两个交点，确定k的范围，利用向量知识，确定坐标之间的关系，由k的范围，可得实数λ的取值范围．
解答：解：（1）在椭圆中，c=1，e=
1
2
，所以a=2，b=
a2-c2
=
3
，故椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1…（2分）
抛物线中，
p
2
=1，所以p=2，故抛物线方程为y2=4x…（4分）
（2）设直线l的方程为y=k（x+1）和抛物线方程联立，得
y=k(x+1)
y2=4x.

消去y，整理得k2x2+（2k2-4）x+k2=0，
因为直线和抛物线有两个交点，所以k≠0，（2k2-4）2-4k4＞0．
解得-1＜k＜1且k≠0…（6分）
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=
4-2k2
k2
，x1x2=1…（8分）
又
F1P
=λ
F1Q
，所以
x1+1=λ(x2+1)
y1=λy2.

又y2=4x，由此得4x1=λ24x2，即x1=λ2x2．
由x1x2=1，解得x1=λ，x2=
1
λ
…（10分）
又x1+x2=
4-2k2
k2
=
4
k2
-2，所以λ+
1
λ
=
4
k2
-2．
又因为0＜k2＜1，所以λ+
1
λ
=
4
k2
-2＞2，
解得λ＞0且λ≠1…（14分）
点评：本题考查椭圆与抛物线的方程，考查直线和抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=
5
3
．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆C1上，对角线BD所在的直线的斜率为1．
①当直线BD过点（0，
1
7
）时，求直线AC的方程；
②当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．
精英家教网已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一条准线方程是x=
25
4
，其左、右顶点分别是A、B；双曲线C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线方程为3x-5y=0．
（1）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；
（2）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连接AP交椭圆C1于点M，连接PB并延长交椭圆C1于点N，若
AM
=
MP
．求
MN
•
AB
的值．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，直线l：y=x+2
2
与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程．
（Ⅱ）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（Ⅲ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则b2=
0.5
0.5
．
（2013•汕头一模）已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，离心率e=
1
2

（1）设抛物线C2：y2=4x的准线与x轴交于F1，求椭圆的方程；
（2）设已知双曲线C3以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，b是双曲线C3在第一象限上任意-点，问是否存在常数λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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