Question

已知椭圆C₁的中心和抛物线C₂的顶点都在坐标原点O，C₁和C₂有公共焦点F，点F在x轴正半轴上，且C₁的长轴长、短轴长及点F到C₁右准线的距离成等比数列．
（Ⅰ）当C₂的准线与C₁右准线间的距离为15时，求C₁及C₂的方程；
（Ⅱ）设过点F且斜率为1的直线l交C₁于P，Q两点，交C₂于M，N两点．当|MN|=8时，求|PQ|的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由题意知C₂：y²=4cx．由条件知a=2c．C₁的右准线方程为x=4c．C₂的准线方程为x=-c．
由条件知c=3，a=6，b=3

3

．由此可知C₁：

x2

36

+

y2

27

=1，C₂：y²=12x．
（Ⅱ）由题设知l：y=x-c，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）．由

y2=4cx y=x-c

，得x²-6cx+c²=0，所以x₁+x₂=6c．而|MN|=|MF|+|FN|=x₁+x₂+2c=8c，由条件|MN|=8，得c=1．由此可知|PQ|=

2(x3-x4)2

=

2[( 8 7 )2+4• 8 7 ]

=

24

7

．

解答：解：（Ⅰ）设C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其半焦距为c（c＞0）．则C₂：y²=4cx．
由条件知(2b)2=2a(

a2

c

-c)，得a=2c．C₁的右准线方程为x=

a2

c

，即x=4c．C₂的准线方程为x=-c．
由条件知5c=15，所以c=3，故a=6，b=3

3

．
从而C₁：

x2

36

+

y2

27

=1，C₂：y²=12x．
（Ⅱ）由题设知l：y=x-c，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）．
由

y2=4cx y=x-c

，得x²-6cx+c²=0，所以x₁+x₂=6c．
而|MN|=|MF|+|FN|=x₁+x₂+2c=8c，由条件|MN|=8，得c=1．
由（Ⅰ）得a=2，b=

3

．从而，C₁：

x2

4

+

y2

3

=1，即3x²+4y²=12．
由

3x2+4y2=12 y=x-1

，得7x²-8x-8=0．所以x3+x4=

8

7

，x3x4=-

8

7

．
故|PQ|=

2(x3-x4)2

=

2[( 8 7 )2+4• 8 7 ]

=

24

7

．

点评：本题考查了直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．