Question

设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：

（Ⅰ）求实数b 的取值范围；

（Ⅱ）求圆C 的方程；

（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．

Answer 1

【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．

（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；

令，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

（Ⅱ）设所求圆的一般方程为

令＝0 得这与＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝．

令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．

所以圆C 的方程为.

（Ⅲ）圆C 必过定点，证明如下：

假设圆C过定点 ，将该点的坐标代入圆C的方程，

并变形为         （*）

为使（*）式对所有满足的都成立，必须有，结合（*）式得

，解得

经检验知，点均在圆C上，因此圆C 过定点。