Question

在△ABC中，若向量

m

=(sinA-sinB-sinC)，

n

=(

2

sinA-sinC，sinA+sinB)且

m

与

n

共线
（1）求角B；
（2）若sinA=

3

5

，求cosC的值．

Answer 1

分析：（1）由两向量的坐标及两向量共线，列出关系式，变形后再利用正弦定理化简，得到关于a，b及c的关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式变形后代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由B的度数，求出sinB的值，根据sinA小于sinB，得到A小于B，可得出A的范围，由sinA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，

解答：解：（1）∵

m

（sinA-sinB，sinC），

n

（

2

sinA-sinC，sinA+sinB），且

m

与

n

共线，
∴

sinA-sinB

2 sinA-sinC

=

sinC

sinA+sinB

，即sin²A-sin²B=sinC（

2

sinA-sinC）=

2

sinAsinC-sin²C，
由正弦定理得：a²-b²=

2

ac-c²，即a²+c²-b²=

2

ac，
由余弦定理知：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

2

2

，
又B为三角形的内角，
∴B=

π

4

；
（2）∵sinA=

3

5

＜

2

2

=sinB，∴A＜B=

π

4

，或A＞

3π

4

（不合题意，舍去），
∴cosA=

1-sin2A

=

4

5

，
又B=

π

4

，∴A+C=

3π

4

，即C=

3π

4

-A，
∴cosC=cos（

3π

4

-A）=cos

3π

4

cosA+sin

3π

4

sinA=-

2

2

×

4

5

+

2

2

×

3

5

=-

2

10

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算法则，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．