Question

在△ABC中，若向量

m

=(sin2

B+C

2

，1)，

n

=(cos2A+

7

2

，4），其中角A，B，C的对边分别是a，b，c，当

m

∥

n

时．
（1）求角A的值；
（2）当a=

3

，S△ABC=

3

2

时，求边长b和角B的大小．

Answer 1

分析：（1）由两个向量共线的性质可得4sin2

B+C

2

=cos2A+

7

2

，求出cosA的值，即可得到A的值．
（2）由S△ABC=

3

2

求得bc=2，再由余弦定理求得b+c=3，由此求得b、c的值，进而求得角B的值．

解答：解（1）∵

m

∥

n

，∴4sin2

B+C

2

=cos2A+

7

2

，∴2[1-cos(B+C)]-(2cos2A-1)-

7

2

=0，
所以4cos2A-4cosA+1=0，cosA=

1

2

，又0＜A＜π，∴A=

π

3

…．（6分）
（2）S△ABC=

1

2

bcsinA，∴

1

2

bc×

3

2

=

3

2

，∴bc=2．
又a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=3，
∴（b+c）²=9，b+c=3．
解得

b=2 c=1

，或

b=1 c=2

，
当b=2时，求得B=

π

2

，当b=1时求得B=

π

6

…．（12分）

点评：本题主要考查两个向量共线的性质，余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．