题目内容

在△ABC中，已知sinA=
1
5
，sinB=
1
10
，则其最长边与最短边的比为
 
．
考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数
专题：解三角形
分析：由题意和正弦定理得A＞B，讨论A为钝角和锐角时，由诱导公式和两角和的正弦公式求得sinB，再由角的正弦大小关系判断出角的大小关系，从而确定最大边和最小边，再利用正弦定理求出比值．
解答： 解：由
1
5
＞
1
10
得，sinA＞sinB，
由正弦定理可得a＞b，则A＞B，
所以B为锐角，A可能为锐角或钝角，
①若A为钝角，则cosA=-
1-sin2A
=-
2
6
5
，
cosB=
1-sin2B
=
3
10
10
，
则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=
1
5
×
3
10
10
+(-
2
6
5
)×
1
10
=
3
10
-2
6
50
＜
1
10
，
由sinB＞sinC，即有b＞c，即c最小，a最大，
所以a：c=sinA：sinC=
1
5
：
3
10
-2
6
50
=5(3
10
+2
6
)：33；
②若A为锐角，则cosA=
2
6
5
，cosB=
3
10
10
，
则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=
1
5
×
3
10
10
+
2
6
5
×
1
10
=
3
10
+2
6
50
＞
1
5
，
由sinC＞sinA＞sinB，则有c最大，b最小．
则c：b=sinC：sinB=
3
10
+2
6
50
：
1
10
=(3
10
+2
6
)：5，
故答案为：5(3
10
+2
6
)：33或(3
10
+2
6
)：5．
点评：本题考查正弦定理，两角和的正弦公式和诱导公式，边角关系，考查化简计算能力，属于中档题和易错题．
练习册系列答案
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1
2
，记bn=a1a2a3…an，则bn达到最大值时，n的值为（　　）
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．
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．
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=a；②若a∈R，则（a2-a+1）0=1；③
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4
3
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6-22
=
3-2
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．
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其中正确命题的序号为
 
．（写出所有正确命题的序号）
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（1）若A中至少有一个元素，求a的取值范围；
（2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．

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