Question

选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2-3sinα，3cosα-2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos（θ-

π

4

）=a．
（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；
（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则

x=2-3sinα y=3cosα-2

，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得直角坐标方程，从而得到点A的轨迹．
（Ⅱ）把直线C方程为直角坐标方程，由题意可得直线C与圆相切，故有圆心到直线的距离等于半径，由此解得 a 的值．

解答：解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则

x=2-3sinα y=3cosα-2

，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得，
（x-2）²+（y-2）²=9，点A的轨迹为半径等于3的圆．
（Ⅱ）把直线C方程为ρcos（θ-

π

4

）=a化为直角坐标方程为

2

x+

2

y=2a，
由题意可得直线C与圆相切，故有

|2 2 -2 2 -2a|

2+2

=3，解得 a=3 或a=-3．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．