题目内容

（2011•晋中三模）选修4-4：坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为：
x=2cosθ
y=2sinθ
（θ为参数），把曲线c1上所有点的纵坐标压缩为原来的一半得到曲线c2，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
2
ρcos(θ-
π
4
)=4．
（1）求曲线c2的普通方程，并指明曲线类型；
（2）过（1，0）点与l垂直的直线l1与曲线c2相交与A、B两点，求弦AB的长．
分析：（1）由
x=2cosθ
y=2sinθ
（θ为参数），得到曲线c1的参数方程为：
x=2cosθ
y=sinθ
（θ为参数）．再cosθ=
x
2
，sinθ= y利用三角函数的性质能够得到曲线c1的普通方程，由此能求出曲线c2及其曲线类型．
（2）直线l的直角坐标方程为x+y=4，直线l1的直角坐标方程为x-y=1．设A（x1，y1）、B（x2，y2）由
x-y=1
x2
4
+y2=1
得3x2-8x=0，由此能求出弦AB的长．
解答：解：（1）由题曲线c1的参数方程为：
x=2cosθ
y=sinθ
（θ为参数）…（2分）
∴曲线c1的普通方程为
x2
4
+y2=1，
∵曲线c1上所有点的纵坐标压缩为原来的一半得到曲线c2，
∴曲线c2：
x2
4
+4y2=1，表示以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为4，短轴长为
1
2
的椭圆．…（5分）
（2）∵直线l的极坐标方程为
2
ρcos(θ-
π
4
)=4，
即：ρcosθ+ρsinθ=4
令x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴直线l的直角坐标方程为x+y=4…（7分）
∴直线l1的直角坐标方程为x-y=1，
设A（x1，y1）、B（x2，y2）
由
x-y=1
x2
4
+y2=1
，
得3x2-8x=0
∴x1+x2=
8
3
，x1x2=0
∴|AB|=
1+1
64
3
=
8
3
2
…（10分）
点评：本题考查简单曲线的极坐标方程及其应用，解题时要认真审题，正确地把曲线的极坐标方程转化为普通方程．
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