Question

已知x，y均为正实数，且

1

2+x

+

1

2+y

=

1

3

，求x+y的最小值．

Answer 1

分析：由

1

2+x

+

1

2+y

=

1

3

和要求的x+y均为和式，不能直接用基本不等式，可将x+y写成x+2+y+2-4形式，再乘以

1

2+x

+

1

2+y

=

1

3

，创造性的应用基本不等式；也可以用消元思想，解出x或y，转化成函数求最值．

解答：解：x+2+y+2=3（

1

2+x

+

1

2+y

）（x+2+y+2）=3(2+

2+y

2+x

+

2+x

2+y

)≥3(2+2)=12，当且仅当x=y时“=”成立．
所以x+y的最小值为12-4=8

点评：本题考查基本不等式求最值，与倒数和、和有关的最值问题，常用乘一项，再除一项，构造乘积是常数的方法，也可用消元法．