Question

过点P₀（1，0）作曲线C：y=x³（x∈（0，+∞））的切线，切点为Q₁，过Q₁作x轴的垂线交x轴于点P₁，又过P₁作曲线C的，切点为Q₂，过Q₂作x轴的垂线交x轴于点P₂，…，依次下去得到一系列点Q₁，Q₂，Q₃，…，设点Q_n的横坐标为a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求和

n

i=1

i

ai

；
（3）求证：an＞1+

n

2

(n≥2，n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）由曲线C：y=x³，求导得切线斜率，切点Q_n的坐标（a_n，a_n³），得切线方程，切线过点P_n-1（a_n-1，0），代入方程，得关于数列{a_n}项的关系式，变形得出数列{a_n}为等差数列，可求数列{a_n}的通项公式；
（2）把每一项的分子用错位相减法都化为1，然后用等比数列的前n项和求解．
（3）法1，把

3

2

分解为1+

1

2

后用二项式定理，取前两项即可；
法2，用数学归纳法：第一步，当n=2时，结论成立；第二步，假设n=k时，结论成立，证明n=k+1时结论也成立．

解答：解：（1）∵y=x³，∴y′=3x²，设Q_n的坐标为（a_n，a_n³），
则切线方程为y-a_n³=3a_n²（x-a_n），
切点为Q₁时，过点P₀（1，0），
即：0-a₁³=3a₁²（1-a₁），
依题意a₁＞0．所以a1=

3

2

．（2分）
当n＞1时，切线过点P_n-1（a_n-1，0），
即：0-a_n³=3a_n²（a_n-1-a_n），
依题意a_n＞0，所以an=

3

2

an-1(n＞1)．（3分）
所以数列a_n是首项为

3

2

，
公比为

3

2

的等比数列．所以an=(

3

2

)n．（4分）
（2）记S_n=

1

a1

+

2

a2

+…+

n-1

an-1

+

n

an

，
因为

1

an

=

2

3

•

1

an-1

，
所以

2

3

Sn=

1

a2

+

2

a3

+…+

n-1

an

+

n

an+1

．（5分）
两式相减得：

1

3

Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

-

n

an+1

=

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n-n(

2

3

)n+1
=

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

-n(

2

3

)n+1=2[1-(

2

3

)n]-n(

2

3

)n+1．（7分）
∴Sn=

n

i=1

i

ai

=6[1-(

2

3

)n]-3n(

2

3

)n+1=6-2(n+3)(

2

3

)n．（9分）
（3）①证法1：an=(1+

1

2

)n=

C

0 n

+

C

1 n

(

1

2

) +

C

2 n

(

1

2

)2+…+

C

n n

(

1

2

)n
＞

C

0 n

+

C

1 n

(

1

2

)=1+

n

2

(n≥2)．（14分）
②证法2：当n=2时，a2=(

3

2

)2=

9

4

=1+

5

4

＞1+

2

2

．（10分）
假设n=k时，结论成立，即ak＞1+

k

2

，
则ak+1=

3

2

ak＞

3

2

(1+

k

2

)=1+

1

2

+

3

2

•

k

2

＞1+

1

2

+

k

2

=1+

k+1

2

．
即n=k+1时．ak+1＞1+

k+1

2

．（13分）
综上，an＞1+

n

2

，（n≥2，n∈N^*）．（14分）

点评：本小题主要考查数列、导数、不等式和数学归纳法等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及逻辑推理，抽象概括能力，运算求解能力和创新意识，此题有点难度，需要同学们掌握．用错位相减法求数列的前n项和，用时要观察项的特征，是否是等差数列的项与等比数列的项的乘积．