题目内容
如图，设P0是抛物线y=x2上一点，且在第一象限．过点P0作抛物线的切线，交x轴于Q1点，过Q1点作x轴的垂线，交抛物线于P1点，此时就称P0确定了P1．依此类推，可由P1确定P2，…．记Pn（xn，yn），n=0，1，2，…．给出下列三个结论：①xn＞0；
②数列{xn}是公比为
| 1 | 4 |
③当x0=1时，y0+y1+y2+…+yn＜2．
其中所有正确结论的序号为
①、③
①、③
．分析：通过求导即可得到切线的斜率，进而得到切线的方程，即可得到xn+1与xn的关系，利用等比数列的通项公式、求和公式即可求出．
解答：解：求导得：y′=2x，
∴在Pn处作曲线C的切线的斜率为2xn，
则此切线方程为y-yn=2xn（x-xn），即y=2xnx-xn2，
令y=0，得到x=
xn，∴Qn+1（
xn，0），即xn+1=
xn，
∵x1＞0，∴xn＞0，即①正确；
∵xn+1=
xn，∴数列{xn}是公比为
的等比数列，即②不正确；
③当x0=1时，数列{xn}是以1为首项，公比为
的等比数列，∴数列{yn}是以1为首项，公比为
的等比数列
∴y0+y1+y2+…+yn=
＜
＜2，即③正确．
综上，正确结论的序号为①③．
∴在Pn处作曲线C的切线的斜率为2xn，
则此切线方程为y-yn=2xn（x-xn），即y=2xnx-xn2，
令y=0，得到x=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵x1＞0，∴xn＞0，即①正确；
∵xn+1=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
③当x0=1时，数列{xn}是以1为首项，公比为
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
∴y0+y1+y2+…+yn=
1-(
| ||
1-
|
| 4 |
| 3 |
综上，正确结论的序号为①③．
点评：本题考查了等比数列的通项公式，曲线上过某点切线方程的斜率，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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