Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，，，且，，

（1）求证：；

（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为，如果存在，求与平面所成的角的正弦值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.

【解析】

（1）利用直角梯形的性质求出，的长，根据勾股定理的逆定理得出，由平面得出，故平面，于是；

（2）假设存在点，做出二面角的平面角，根据勾股定理求出到平面的距离从而确定的位置，利用棱锥的体积求出到平面的距离，根据勾股定理计算，则即为所求角的正弦值．

解：（1）如图，由已知得四边形ABCD是直角梯形，

由已知，

可得是等腰直角三角形，即，

又平面ABCD，则，

所以平面PAC，

所以．

（2）假设存在符合条件的点，过点作于，则，

平面，．

过点作于，连接，则平面，

，即是二面角的平面角．

若，则，又，

，即是线段的中点．

存在点使得二面角的大小为．

在三棱锥中，，

设点到平面的距离是，则，

，，

，解得．

在中，，，，，

，

与平面所成角的正弦值为．