Question

（2005•东城区一模）已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1，0）和（1，0），点A、P、Q运动时满足|

AE

|=2|

EF

|，

AQ

=

QF

，

PQ

•

AF

=0，

AP

∥

EP

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设M、N是C上两点，若

OM

+2

ON

=3

OE

，求直线MN的方程．

Answer 1

分析：（1）由

AQ

=

QF

，

PQ

•

AF

=0可知PQ为AF的垂直平分线即|

PA

|=|

PF

|，由

AP

∥

EP

可得P为AF的垂直平分线与AE的交点，则有|PE|+|PF|=|PE|+|PA|=|AE|=2|EF|=4，由椭圆的定义可知P的轨迹为椭圆，且2a=4，c=1，由b²=a²-c²可求b，进而可求点P的轨迹方程
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）则3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，由

OM

+2

ON

=3

OE

可得x₁+2x₂=-3，y₁+2y₂=0，联立方程可求x₂，y₂，直线MN的斜率k=

y2-y1

x2-x1

=

3y2

3+3x2

=

y2

1+x2

可求，进而可求直线方程

解答：解：（1）∵

AQ

=

QF

∴Q为AF的中点
又∵

PQ

•

AF

=0
∴PQ⊥AF
∴PQ为AF的垂直平分线
∴|

PA

|=|

PF

|
∵

AP

∥

EP

∴A、E、P三点共线
∴P为AF的垂直平分线与AE的交点
∴|PE|+|PF|=|PE|+|PA|=|AE|=2|EF|=4
∴P的轨迹为椭圆，且2a=4，c=1
∴b²=a²-c²=3
∴点P的轨迹方程为

x2

4

+

y2

3

=1（6分）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
则3x12+4y12=12，3x22+4y22=12（7分）
∵

OM

+2

ON

=3

OE

∴x₁+2x₂=-3，y₁+2y₂=0（8分）
即

3x12+4y12=12 3x22+4y22=12 x1+2x2=-3 y1+2y2=0

∴

3x12+4x12=12① 3x22+4y23=12② x1=-3-2x2③ y1=-2y2④

③代入①可得27+36x2+12x22+16y22=12⑤
⑤-②×4可得，x2=-

7

4

把x2=-

7

4

代入②可得y2=±

3 5

8

（10分）
直线MN与x轴显然不垂直
∴所求的直线MN的斜率k=

y2-y1

x2-x1

=

3y2

3+3x2

=

y2

1+x2

=±

5

2

（12分）
∴所求的直线MN的方程为y=±

5

2

(x+1)（13分）

点评：本题主要考察了利用椭圆的定期求解椭圆的方程，直线与椭圆相交关系的应用，解题的难点在于基本运算及逻辑推理．