题目内容
（2005•东城区一模）已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1，0）和（1，0）．动点P满足|
|+|
|=4．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过E点做直线与C相交于M、N两点，且
=2
，求直线MN的方程．
| PE |
| PF |
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过E点做直线与C相交于M、N两点，且
| ME |
| EN |
分析：（1）由椭圆的定义可知，到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆，所以所求点P的轨迹C为椭圆，再分别求出椭圆中a，b的值即可．
（2）当斜率存在时，设出直线MN的点斜式方程，与（1）中所求椭圆方程联立，求出x1+x2，x1x2，再根据
=2
，
即可求出k，得到直线MN的方程．
（2）当斜率存在时，设出直线MN的点斜式方程，与（1）中所求椭圆方程联立，求出x1+x2，x1x2，再根据
. |
| ME |
. |
| EN |
即可求出k，得到直线MN的方程．
解答：解：（1）∵|
|+|
|=4
由椭圆的第一定义可知点P的轨迹为椭圆，
且2a=4，c=1，∴a2=4，b2=3
∴所求的椭圆方程为
+
=1
（2）①当直线MN的斜率不存在时，不满足题意；
②当直线MN的斜率存在时，设其方程为y=k（x+1），
代入
+
=1化简得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0
设两交点的坐标为M（x1，y1）、N（x2，y2）
则x1+x2=
，x1x2=
∵
E=2
N，∴x1+2x2=-3
∴x2=-3+
=
，x1=-3-2x2=
∴
×
=
∴k2=
，即k=±
，满足△＞0
∴所求的直线MN的方程为y=±
(x+1)
. |
| PE |
. |
| PF |
由椭圆的第一定义可知点P的轨迹为椭圆，
且2a=4，c=1，∴a2=4，b2=3
∴所求的椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）①当直线MN的斜率不存在时，不满足题意；
②当直线MN的斜率存在时，设其方程为y=k（x+1），
代入
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
设两交点的坐标为M（x1，y1）、N（x2，y2）
则x1+x2=
| -8k2 |
| 3+4k2 |
| 4k2-12 |
| 3+4k2 |
∵
| M |
| E |
∴x2=-3+
| 8k2 |
| 3+4k2 |
| -9-4k2 |
| 3+4k2 |
| 9-4k2 |
| 3+4k2 |
∴
| -9-4k2 |
| 3+4k2 |
| 9-4k2 |
| 3+4k2 |
| 4k2-12 |
| 3+4k2 |
∴k2=
| 5 |
| 4 |
| ||
| 2 |
∴所求的直线MN的方程为y=±
| ||
| 2 |
点评：本题主要考查了定义法求轨迹方程，以及直线与椭圆位置关系的判断．
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