题目内容

某公司举办一次募捐爱心演出，有1000 人参加，每人一张门票，每张100元．在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这1000张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数x，y（x，y∈{0，1，2，3}），满足|x-1|+|y-2|≥3电脑显示“中奖”，且抽奖者获得9000元奖金；否则电脑显示“谢谢”，则不中奖．
（1）已知小明在第一轮抽奖中被抽中，求小明在第二轮抽奖中获奖的概率；
（2）若小白参加了此次活动，求小白参加此次活动收益的期望．

解：（Ⅰ）从0，1，2，3四个数字中有重复取2个数字，其基本事件有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）共 16 个…（3分）
设“小明在第二轮抽奖中获奖”为事件A，且事件A所包含的基本事件有（0，0），（2，0），（3，0），（3，1），（3，3）共5个，
∴P（A）= $\text{[math]}$ …（6分）
（Ⅱ）设小明参加此次活动的收益为ξ，ξ的可能取值为-100，900，9900．
P（ξ=-100）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=900）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=9900）= $\text{[math]}$ …（9分）
∴ξ的分布列为

ξ	-100	900	9900
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（Ⅰ）确定从0，1，2，3四个数字中有重复取2个数字的基本事件的个数，与小明在第二轮抽奖中获奖的基本事件个数，即可求得小明在第二轮抽奖中获奖的概率；
（Ⅱ）设小明参加此次活动的收益为ξ，ξ的可能取值为-100，900，9900，求出相应的概率，即可得到分布列与数学期望．
点评：本题考查离散型随机变量的概率分布列与期望，解题的关键是明确变量的可能取值及其含义．

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给出定义：若m- $数学公式$ ＜x≤m+ $数学公式$ （其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
①y=f（x）的定义域是R，值域是（ $数学公式$ ， $数学公式$ ]；②点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；③函数y=f（x）的最小正周期为1；④函数y=f（x）在（ $数学公式$ ， $数学公式$ ]上是增函数；
则其中真命题是________．

已知函数f（x）= $数学公式$ ，则f（f（0））的值为________．

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三视图如图所示，其中主视图AA₁B₁B和左视图B₁BCC₁均为矩形，在俯视图△A₁B₁C₁中，A₁C₁=3，A₁B₁=5， $数学公式$ ．
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：BC⊥AC₁；
（2）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若D是底边AB的中点，求证：AC₁∥平面CDB₁．
（3）若三棱柱的高为5，求三视图中左视图的面积．

在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个．现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球．重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球．求：
（1）最多取两次就结束的概率；
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有一种波，其波形为函数 $数学公式$ 的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰（图象的最高点），则正整数t的最小值是________．

由下列命题构成的“p或q”，“p且q”形式的复合命题均为真命题的是

A.
p：a∈{a，b，c}，q：{a}⊆{a，b，c}
B.
p：15是质数，q：8是12的约数
C.
p：4+4=9，q：7＞4
D.
p：2是偶数，q：2不是质数

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，M，N分别是棱CC₁，AB的中点．
（Ⅰ）求证：平面MCN⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求证：CN∥平面AMB₁．

已知向量 $数学公式$ 的夹角为120°，且 $数学公式$ ，则向量 $数学公式$ 在向量a方向上的投影是________．