Question

 如图，四棱锥中,，底面为梯形，，，且.（10分）

（1）求证：;

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）连结,交于点,连结，  ∵，_{，  ∴}

_又 ∵, _∴∴ 在△BPD中，

    ∴∥平面_{----------------4分}

（2）方法一：以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系.

设，则，，，，．

设为平面的一个法向量，

则，，∴，

解得，∴．

设为平面的一个法向量，则，，

又，，∴，

解得，∴  

∴二面角的余弦值为． -------------------10分

方法二：在等腰Rt中，取中点，连结，则

∵面⊥面，面面=，∴平面．

在平面内，过作直线于，连结，由、，

得平面，故．

∴就是二面角的平面角．

在中，设，，，

，，

由，可知：∽，

∴，   代入解得：．

在中，，

∴，．

∴二面角的余弦值为．-------------------10分