Question

正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切(如图)， 则棱锥的表面积和球的半径为      

Answer 1

9＋6；－2

过PA与球心O作截面PAE，与平面PCB交于PE，与平面ABC交于AE(如图)

∵△ABC是正三角形，
∴AE即是△ABC中BC边上的高，又是BC边上的中线，
又因为正三棱锥的高PD=1通过球心，所以D是三角形△ABC的重心，
∵底面正三角形边长为2，
∴DE＝AE＝××2＝，
又PE为侧面之高，所以PE＝＝．
高球的半径为r，由△POF∽△PED，知＝，
所以＝，r＝－2，
所以
＝3××2×＋×
＝9＋6．