Question

从椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点F₁，M是椭圆的右顶点，N是椭圆的上顶点，且

MN

=λ

OP

(λ＞0)．
（1）求该椭圆的离心率；
（2）若过右焦点F₂且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，点A关于x轴的对称点为A₁，直线A₁B与x轴交于点R（4，0），求椭圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）令x=-c，得y=

b2

a

，所以点P的坐标为（-c，

b2

a

），由

MN

=λ

OP

，(λ＞0)得到离心率．
（2）设直线l的方程为：x=my+c，（m≠0），与椭圆方程

x2

2c2

+

y2

c2

=1，联立得到（m²+2）y²+2mcy-c²=0y²+2mcy-c²=0．记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再由韦达定理结合题设条件能够求出所求椭圆方程．

解答：解：（1）令x=-c，得y=

b2

a

，所以点P的坐标为（-c，

b2

a

），（2分）
由

MN

=λ

OP

，(λ＞0)得到：

b2 a

c

=

b

a

，（4分）
所以b=c，a²=2c²，即离心率e=

2

2

（6分）
（2）设直线l的方程为：x=my+c，（m≠0），与椭圆方程

x2

2c2

+

y2

c2

=1，
联立得到：（m²+2）y²+2mcy-c²=0y²+2mcy-c²=0．（8分）
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y1+y2=

-2mc

m2+2

，y1y2=

-c2

m2+2

，（9分）
由A关于x轴的对称点为A₁，得A₁（x₁，-y₁），
则直线A₁B的方程是：

y+y1

y2+y1

=

x-x1

x2-x1

，过点R（4，0）得到：
y₁（my₂-my₁）=4（y₂+y₁）-（my₁+c）（y₂+y₁）（10分）
即：2my₁y₂=（4-c）（y₁+y₂）
所以：

-2mc 2

m2+2

=(4-c)•

-2mc

m2+2

，
得到：c=4-c，所以：c=2（12分）
所以所求椭圆方程为：

x2

8

+

y2

4

=1．（13分）

点评：本题考查椭圆的离心率和椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意椭圆性质的灵活运用．