Question

（2009年）从椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F₁，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O为坐标原点），则该椭圆的离心率为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

• C．

  1

  4

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：先计算PF₁的长，再利用两直线平行得tan∠POF₁，最后在直角三角形POF₁中，找到a、b、c间的等式，从而求出离心率

解答：解：设F₁（-c，0），将x=-c代入

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，得y=±

b2

a

∴PF₁=

b2

a

，OF₁=c
∵AB∥OP，∴tan∠POF₁=tan∠BAO=

b

a

∴在直角三角形POF₁中，tan∠POF₁=

PF1

OF1

=

b2

ac

=

b

a

∴b=c，∴a=

2

c
∴e=

c

a

=

2

2

故选D

点评：本题考查了椭圆的几何性质，椭圆离心率的求法，将已知几何条件转化为椭圆特征量a、b、c间的关系，是解决本题的关键