Question

10．已知函数f（x）=x-a^x（a＞0，且a≠1）．
（1）当a=e，x取一切非负实数时，若$f（x）≤b-\frac{1}{2}{x^2}$，求b的范围；
（2）若函数f（x）存在极大值g（a），求g（a）的最小值．

Answer 1

分析 （1）问题转化为$b≥\frac{1}{2}{x^2}+x-{e^x}$恒成立，令g（x）=$\frac{1}{2}$x²+x-e^x，根据函数的单调性求出b的范围即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出g（a）的表达式，根据函数的单调性求出g（a）的最小值即可．

解答 解：（1）当a=e时，f（x）=x-e^x，
原题分离参数得$b≥\frac{1}{2}{x^2}+x-{e^x}$恒成立，
令g（x）=$\frac{1}{2}$x²+x-e^x，g′（x）=x+1-e^x，g″（x）=1-e^x＜0，
故g′（x）在[0，+∞）递减，g′（x）＜g′（0）=0，
故g（x）在[0，+∞）递减，
g（x）≤g（0）=-1，
故b≥-1；
（2）f'（x）=1-a^xlna，
①当0＜a＜1时，a^x＞0，lna＜0，
所以f'（x）＞0，所以f（x）在R上为单增函数，无极大值；
②当a＞1时，设方程f'（x）=0的根为t，
则有${a^t}=\frac{1}{lna}$，即$t={log_a}\frac{1}{lna}=\frac{{ln\frac{1}{lna}}}{lna}$，
所以f（x）在（-∞，t）上为增函数，在（t，+∞）上为减函数，
所以f（x）的极大值为$f（t）=t-{a^t}=\frac{{ln\frac{1}{lna}}}{lna}-\frac{1}{lna}$，
即$g（a）=\frac{{ln\frac{1}{lna}}}{lna}-\frac{1}{lna}$，因为a＞1，所以$\frac{1}{lna}＞0$，
令$x=\frac{1}{lna}$则$\frac{{ln\frac{1}{lna}}}{lna}-\frac{1}{lna}=xlnx-x$，
设h（x）=xlnx-x，x＞0，则$h'（x）=lnx+x•\frac{1}{x}-1=lnx$，
令h'（x）=0，得x=1，
所以h（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，
所以h（x）得最小值为h（1）=-1，
即g（a）的最小值为-1，
此时a=e．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查函数恒成立问题，是一道综合题．