Question

已知向量

m

=(1，-2)与

n

=(1，λ)．
（Ⅰ）若

n

在

m

方向上的投影为

5

，求λ的值；
（Ⅱ）命题P：向量

m

与

n

的夹角为锐角；
命题q：

a

=2

b

，其中向量

a

=(λ+2，λ2-cos2α)，

b

=（

1

2

λ+1，

λ

2

+sinα）（λ，α∈R）．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）

n

在

m

方向上的投影的表达式是

m • n

| m |

，由此得出关于λ的方程，解出即可．
（Ⅱ）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则pq中一真一假，分类求解，再合并即可．

解答：解：（Ⅰ）由已知，

n

在

m

方向上的投影

m • n

| m |

=

5

，即

1-2λ

5

=

5

．
所以1-2λ=5，∴λ=-2．
（Ⅱ）1°，若p为真，则

m

•

n

＞0，且

1

1

≠

λ

-2

，即1-2λ＞0，且λ≠-2．
2°若p为真，由

a

=2

b

得λ²-cos²α=λ+2sinα，
∴λ²-λ=cos²α+2sinα=1-sin2α+2sinα=-（sinα-1）²+2．
∵-1≤sinα≤1，∴-2≤λ²-λ≤2，∴-1≤λ≤2．
若p真q假，则

λ＜ 1 2 且λ≠2 λ＜-1或λ＞2

∴λ＜-1且λ≠-2．
若p假q真，则

λ≥ 1 2 或λ=-2 -1≤λ≤2

∴

1

2

≤λ≤2
综上得λ∈（-∞，-2）∪（-2，-1）∪[

1

2

，2]．

点评：本题考查向量投影的计算，复合命题真假性的判断，考查分类讨论、转化、计算能力．