Question

已知.

（1）求函数在上的最小值；

（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：对一切，都有成立.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；

（3）设，则，

证得，当且仅当时取到，

从而对一切，都有成立.

【解析】

试题分析：（1）定义域为，，

当单调递减，

当，单调递增.                     2分

①无解；                                  3分

②，即时，

③，即时，在上单调递增，

所以

（2），则，对一切恒成立

设，则

单调递减，单调递增     8分

在上，有唯一极小值，即为最小值.

所以，因为对一切恒成成立，

所以；                                          9分

（3）问题等价于证明，

由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到，

设，则，

易得，当且仅当时取到，                11分

从而对一切，都有成立.                   12分

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极值，不等式的证明。

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，（2）（3）涉及恒成立问题、不等式证明问题，均通过转化成求函数的最值，这种思路是一般解法，在研究函数最值的过程中，再次利用导数。