Question

19．判断函数f（x）=$\frac{1}{1+{2}^{x}}$的单调性，并证明．

Answer 1

分析 可以看出x增大时，f（x）减小，从而判断f（x）为减函数，可利用减函数的定义证明：设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，结合指数函数的单调性证明f（x₁）＞f（x₂），这便证出函数f（x）在R上为减函数．

解答 解：x增大时，1+2^x增大，f（x）减小；
∴f（x）是减函数；
证明：f（x）的定义域为R；
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{1+{2}^{{x}_{1}}}-\frac{1}{1+{2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{2}}＞{2}^{{x}_{1}}$；
∴${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$；
∴$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}＞0$；
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在R上为减函数．

点评 考查减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，指数函数的单调性，作差的方法比较f（x₁）与f（x₂），是分式的一般需通分．