Question

3．已知平面向量$\overrightarrow{α}$，$\overrightarrow{β}$，|$\overrightarrow{α}$|=1，$\overrightarrow{β}$=（2，0），$\overrightarrow{α}$⊥（$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{β}$），则|2$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$|的值是$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{α}$⊥（$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{β}$）得出$\overrightarrow{α}$•（$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{β}$）=0，解出$\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}$，计算|2$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$|²，开方即可．

解答 解：$|\overrightarrow{β}|$=2，
∵$\overrightarrow{α}$⊥（$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{β}$），∴$\overrightarrow{α}$•（$\overrightarrow{α}$-2$\overrightarrow{β}$）=0，
∴${\overrightarrow{α}}^{2}-2\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}=0$，∴$\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}$=$\frac{1}{2}$．
∴|2$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$|²=4${\overrightarrow{α}}^{2}$+4$\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}+{\overrightarrow{β}}^{2}$=4+2+4=10．
∴|2$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$|=$\sqrt{10}$．
故答案为$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了平面向量的数量级运算，属于中档题．